Faites légèrement tiédir le lait. Cassez l’oeuf dans un bol et battez-le. Mélangez 330 g de farine et la levure avant de les tamiser. Ajoutez-y le sel et le sucre. Versez le lait en mélangeant (ou à l’aide d’un robot) et intégrez l’œuf battu.
Tout en mélangeant, intégrez le beurre ramolli. Continuez de remuer ou de faire tourner le robot pendant environ 5 minutes. Le mélange devient homogène et collant. Transvasez cette pâte sur le plan de travail bien fariné. Ajoutez le reste de farine et pétrissez à la main.
Formez une boule qui ne doit plus être collante (ajoutez un peu de farine si nécessaire). La pâte doit être souple et légèrement élastique. Déposez-la dans un récipient et couvrez d’un torchon propre. Laissez lever durant approximativement 1 H 30 à 28 °C. Si nécessaire, déposez à côté d’une source de chaleur (sans que ce soit trop chaud).
Sortez le pesto. Râpez le fromage. Déposez la pâte sur une feuille de papier cuisson. Farinez un rouleau à pâtisserie et abaissez la pâte. Badigeonnez généreusement de pesto avant de parsemer le fromage râpé.
Roulez la pâte pour former un long boudin. Coupez celui-ci en deux dans la longueur. Tressez ensuite les deux boudins. S’ils sont trop mous, passez-les au frais. Mélangez le jaune d’œuf et le lait puis appliquez ce mélange au pinceau sur votre tresse.
Couvrez et laissez pousser, toujours autour de 28 ° C, durant 45 minutes. Badigeonnez à nouveau avec le mélange pour dorure. Mettez à cuire 40 minutes dans un four préchauffé à 170 °C. Si nécessaire, couvrez votre babka afin d’éviter qu’elle ne colore trop (elle doit garder une belle dorure).
